享有子女监护权的人必须具有监护能力。根据《最高人民法院关于贯彻执行〈中华人民共和国民法通则〉若干问题的意见(试行)》第11条规定，认定监护人监护能力，应当根据监护人的身体健康状况、经济条件，以及与被监护人在生活上的联系状况等因素确定。因此，如果享有子女监护权的父母失去了监护能力，也就是说，其没有足够的能力来履行监护职责，那么监护权就是可以变更甚至终止的。当然，子女监护权的终止并不一定是享有子女监护权的父母不具备监护能力。