可以起诉要求抚养费；属于抚养费纠纷案件，你继子可以起诉他父亲，也就是你丈夫，要求他支付抚养费，应以你继子女的名义起诉。
起诉，是指公民、法人或者其他组织，认为自己的或者由自己保护或管理的民事权益受到侵害或与人发生民事争议，以自己的名义请求人民法院通过审判给予司法保护的诉讼行为。
根据《民事诉讼法》第119条的规定，起诉必须符合下列条件：
(1)原告是与本案有直接利害关系的公民、法人和其他组织；
（2）有明确的被告；
(3)有具体的诉讼请求和事实、理由；
(4)属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。所谓“原告与本案有直接利害关系”是指，当事人自己的民事权益受到侵害或者与他人发生争议。只有为保护自己的民事权益而提起诉讼的人，才是本案的合格原告。