重婚罪的被告人失踪的，应该由公安机关负责对被告进行抓捕，如果是在逃的，公安机关可以通过发布通缉令的方式追捕当事人。
相关法律规定
《中华人民共和国刑事诉讼法》
第一百一十五条公安机关对已经立案的刑事案件，应当进行侦查，收集、调取犯罪嫌疑人有罪或者无罪、罪轻或者罪重的证据材料。对现行犯或者重大嫌疑分子可以依法先行拘留，对符合逮捕条件的犯罪嫌疑人，应当依法逮捕。
第一百五十五条应当逮捕的犯罪嫌疑人如果在逃，公安机关可以发布通缉令，采取有效措施，追捕归案。
各级公安机关在自己管辖的地区以内，可以直接发布通缉令超出自己管辖的地区，应当报请有权决定的上级机关发布。