醉酒打伤人可能触犯的罪名有故意伤害罪、寻衅滋事罪。具体量刑要根据犯罪动机、伤害的程度确定。在司法实践中，根据医学鉴定的伤情鉴定结论确定其承担的刑事责任。伤情鉴定，目前依据的是最高人民法院等部门联合制定的自2014年1月1日起施行的《人体损伤程度鉴定标准》。如果是故意伤害罪，处3年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处3年以上10年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处10年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。如果是涉嫌寻衅滋事罪，处5年以下有期徒刑、拘役或者管制。纠集他人多次实施前款行为，严重破坏社会秩序的，处5年以上10年以下有期徒刑，可以并处罚金。