交通事故责任方故意不垫付医疗费可以先由交强险的保险公司和道路交通事故救济基金先行垫付，若仍无法得到救济，则可向人民法院提出要求致害人支付医疗费用的先于执行的申请。

根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条，保险公司可以向被保险人赔偿保险金，也可以直接向受害人赔偿保险金。

但是，因抢救受伤人员需要保险公司支付或者垫付抢救费用的，保险公司在接到公安机关交通管理部门通知后，经核对应当及时向医疗机构支付或者垫付抢救费用。