争取孩子的抚养权和监护权常遇的问题如下：

(一)监护权归属对方，以后看不到孩子怎么办?

(二)如果一方得到监护权，另一方就不用负担子女生活费用吗?

(三)被监护人打伤他人或者损害财物需要赔偿应由离婚的父母共同承担吗?

(四)监护权判给对方，如果对方不照顾孩子，该怎么办?

【法律依据】

《婚姻法》第三十七条，离婚后，一方抚养的子女，另一方应负担必要的生活费和教育费的一部或全部，负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成时，由人民法院判决。

关于子女生活费和教育费的协议或判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或判决原定数额的合理要求。