这要看投毒者的投毒目的、投毒方式，投毒结果等。

如果仅仅要毒死这只狗，同时这只狗的价值不足5000元，那么就不构成犯罪;如果狗属于特殊种类，如警犬、缉毒犬、救援犬或者其他种类价值超过5000元以上，就构成故意毁坏财物罪，一般处三年以下有期徒刑，数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。

如果投毒方式上，虽是针对狗的，但是可能导致特定人的生命财产安全受到威胁，例如狗肉被人吃了中毒死亡，那一般构成故意杀人或者故意伤害罪，根据造成的伤害后果来判刑，最高刑可到无期徒刑、死刑。如果可能危及到公共安全，例如中毒的狗肉流向水井、河流、食物，可能造成不确定的多数人中毒死亡，则构成投放危险物质罪，根据造成的后果，处五年以下或者五年以上有期徒刑。

法律依据：

《中华人民共和国刑法》第二百七十五条

故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金;数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。