合同标的物提存后的通知义务由债务人承担。 提存，指由于债权人的原因而无法向其交付合同标的物时，债务人将该标的物交给提存机关而消灭债务的制度。根据我国法律的规定，标的物提存后，债务人应当及时通知债权人或者债权人的继承人、监护人、财产代管人等。因此，合同标的物提存后的通知义务由债务人承担。
债权转让中通知义务的履行重要。债权人将债权的全部或者部分转让给第三人的，应当履行通知义务。未通知债务人的，该债权转让对债务人不发生效力，债务人依然向原债权人履行债务。
法律上的告知义务具体如下：（1）通知义务，合同当事人应将对合同相对方利益有重大影响的事项告知对方的义务；（2）说明义务，合同当事人对合同相对方利益有重大影响的事项负有向对方说明的义务；（3）协助义务，合同当事人应协助对方履行义务，以使合同目的能顺利实现的义务；（4）照顾义务；（5）保密义务；（6）保护义务。
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