债务转移后新债务人不履行义务可以向法院起诉，根据《中华人民共和国合同法》第65条，当事人约定由第三人向债权人履行债务的，第三人不履行债务或者履行债务不符合约定，债务人应当向债权人承担违约责任。所有在债务转移后第三人不履约债务的，债权人仍然可以向原债务人要求履行债务。
在债务转移的情况下，由于第三人成为合同当事人，故而该债务的履行不符合约定或未完全履行的情况下，债权人可以要求第三人承担履行或违约责任。但在第三人代为履行的情况下，由于第三人不是合同当事人，当出现债务的履行不符合约定或未完全履行的情况时，债权人只能向债务人而不能向第三人请求承担责任。