留守儿童监护人的姓名应该填爷爷奶奶或者姥姥姥爷，谁平时负责照看留守儿童的就写谁的名字。

但留守儿童的父母的监护权是一直都在的，只是父母是因为生活工作的这些原因没办法实际监护儿童的，一般就有平时监护留守儿童的这些人承担起监护职责。

【法律依据】

《关于加强农村留守儿童关爱保护工作的意见》，提出加强农村留守儿童关爱保护工作、维护未成年人合法权益，是各级政府的重要职责，也是家庭和全社会的共同责任。