行政处罚罚款申请分期手续的办理流程如下：

1、当事人应向作出行政处罚的机关提交书面申请；

2、行政机关进行审查；

3、审查合格的，批准分期；

4、分期缴纳罚款。

【法律依据】

《行政处罚法》第五十二条规定，当事人确有经济困难，需要延期或者分期缴纳罚款的，经当事人申请和行政机关批准，可以暂缓或者分期缴纳。