被监护人能自己指定监护人，但是只有一种情况。

如果是具有完全民事行为能力的成年人，可以与其近亲属。其他愿意担任监护人的个人或者组织事先协商，以书面形式确定自己的监护人，在自己丧失或者部分丧失民事行为能力时，由该监护人履行监护职责。意定监护打破了监护法上被监护人不得为自己指定监护人的陈规。在效力上，意定监护优先于法定监护，意定监护也优先于遗嘱监护。

【法律依据】

《民法典》第三十三条  具有完全民事行为能力的成年人，可以与其近亲属。其他愿意担任监护人的个人或者组织事先协商，以书面形式确定自己的监护人，在自己丧失或者部分丧失民事行为能力时，由该监护人履行监护职责。