母亲可以把监护权变更到奶奶。
根据《民法通则》的规定，监护人不履行监护职责，或者侵害了被监护人的合法权益，其他有监护资格的人或者单位向人民法院起诉，要求监护人承担民事责任的，按照普通程序审理。
要求变更监护关系的，按照特别程序审理;既要求承担民事责任，又要求变更监护关系的，分别审理。