教师醉驾被判一个月拘役会开除公职，事业单位可以根据具体案情作出判决，当然，不开除也是可以的。

开除公职，需要等判决生效以后才能开除。一般情节不严重的情况下学校和教育主管部门应当给予降低岗位等级等处置方式。

《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条：事业单位工作人员被依法判处刑罚的，给予降低岗位等级或者撤职以上处分。其中，被依法判处有期徒刑以上刑罚的，给予开除处分。

【法律依据】

《道路交通安全法》第91条，醉酒驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；五年内不得重新取得机动车驾驶证。饮酒后或者醉酒驾驶机动车发生重大交通事故，构成犯罪的，依法追究刑事责任，并由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，终生不得重新取得机动车驾驶证。