公安立案后的侦查期限为二个月。根据刑事诉讼法的规定，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十六条 对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十七条规定：因为特殊原因，在较长时间内不宜交付审判的特别重大复杂的案件，由最高人民检察院报请全国人民代表大会常务委员会批准延期审理。
公安机关接受案件后，经审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，经县级以上公安机关负责人批准，予以立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微不需要追究刑事责任，或者具有其他依法不追究刑事责任情形的，经县级以上公安机关负责人批准，不予立案。对有控告人的案件，决定不予立案的，公安机关应当制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。对行政执法机关移送的案件，公安机关应当自接受案件之日起三日以内进行审查，认为有犯罪事实，需要追究刑事责任，依法决定立案的。
公安机关是行政机关。公安机关是人民政府的重要组成部分，是国家的行政机关，同时它又担负着刑事案件的侦查任务，因而它又是国家的司法机关之一。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》 第七条规定：国务院公安部门负责全国的治安管理工作。县级以上地方各级人民政府公安机关负责本行政区域内的治安管理工作。治安案件的管辖由国务院公安部门规定。
公安机关是司法机关。公安局既属于行政机关，也属于司法机关。通常说，公安机关的警察有民警和刑警。1.民警所属的公安局和派出所则属于行政机关，依据《治安管理处罚法》等行政法律法规行使行政权，比如进行行政拘留、罚款、警告等，或者在行使《警察法》相关权力，比如出示证件后查询你的证件。 2.则刑警所属的公安机关内设机构等则属于司法机关，行使《刑诉法》赋予的权力，比如侦查由公安机关侦查的案件，行使侦查的各项权力，或者拘留，监视居住，取保候审，逮捕等强制措施。所以，在行使刑诉法相关权力时，公安机关无行政主体资格，不能进行行政复议或者行政诉讼，只能向上级机关或者检察院复核或者申诉。
公安机关是人民政府的重要组成部分，属于国家的行政机关，同时它又担负着刑事案件的侦查任务，因而它又是国家的司法机关之一。根据《公安机关组织管理条例》 第二条规定：公安机关是人民民主专政的重要工具，人民警察是武装性质的国家治安行政力量和刑事司法力量，承担依法预防、制止和惩治违法犯罪活动，保护人民，服务经济社会发展，维护国家安全，维护社会治安秩序的职责。
公安机关是我国人民民主专政政权中具有武装性质的治安行政和刑事执法机关。 这一概念道出了公安机关性质的三个方面：即公安机关是人民民主专政的重要工具；公安机关是国家的治安行政机关和刑事执法机关；公安机关具有武装性质。根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第二条规定：公安机关在刑事诉讼中的任务，是保证准确、及时地查明犯罪事实，正确应用法律，惩罚犯罪分子，保障无罪的人不受刑事追究，教育公民自觉遵守法律，积极同犯罪行为作斗争，维护社会主义法制，尊重和保障人权，保护公民的人身权利、财产权利、民主权利和其他权利，保障社会主义建设事业的顺利进行。
逮捕后的侦查期间最长可以达到3个月。侦查羁押期限自逮捕后的次日起计算，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，经上一级人民检察院批准可以延长。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十六条规定：对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十八条规定：犯罪嫌疑人、被告人被羁押的案件，不能在本法规定的侦查羁押、审查起诉、一审、二审期限内办结的，对犯罪嫌疑人、被告人应当予以释放；需要继续查证、审理的，对犯罪嫌疑人、被告人可以取保候审或者监视居住。
目前的刑罚里只有拘役和剥夺政治权利由公安机关执行。我国的现在的刑罚的主要有五种的处罚，还加上三种的附加处罚，并且附加的处罚是可以独立使用的，五种处罚中有管制、拘役、有期徒刑、无期徒刑、死刑的，不同的刑罚有不同的规定。以下是刑罚的种类和相应的执行机关：1.管制：原来为公安机关，《修正案八》修改为社区矫正组织；2.拘役：公安机关；3.有期徒刑：监狱，如果余刑在3个月以下，由看守所执行；4.无期徒刑：监狱；5.死缓：监狱；6.死刑立即执行：法院；7罚金：法院；8.剥夺政治权利：监狱管理机关和公安机关；9.没收财产：法院。
检察院不予起诉的案件，公安机关应当改变强制措施，或者进行补充侦查，公安机关认为不起诉的决定有错误的时候，可以要求复议，如果意见不被接受，可以向上一级人民检察院提请复核。 根据我国《刑事诉讼法》规定，对于公安机关移送起诉的案件，人民检察院决定不起诉的，应当将不起诉决定书送达公安机关。公安机关认为不起诉的决定有错误的时候，可以要求复议，如果意见不被接受，可以向上一级人民检察院提请复核。
公安既属于行政机关，也属于司法机关。行政机关是指依法行使国家权力、执行国家行政职能的机关，公安局是各级政府的组成部门，此时属于行政机关。司法机关是行使司法权的国家机关，是依法成立的行使相关国家职权的司法组织。司法机关指人民法院、人民检察院两大类。公安机关可以被认为是司法机关的一部分，在行使行政职能时则不属于司法机关。
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