单位名称变更劳动合同签订日期还是原来的可以。用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。
【法律依据】
《劳动合同法》第三十三条，用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。
